چند ضلعی ها
چند ضلعيها
تعريف چند ضلعي :
هر خط شكسته بسته را چند ضلعي مي نامند . مثلث يك چند ضلعي (سه ضلعي) است. اگر يكي از زواياي داخلي چند ضلعي بزرگتراز 180 درجه باشد،چند ضلعي را مقعر و در غير اين صورت چند ضلعي را محدب مي نامند.
نكته 1 :
مجموع اندازه هاي زواياي هر n ضلعي برابر با درجه است.
براي مثال ، مجموع اندازه هاي زواياي يك هفت ضلعي برابر با درجه است.
نكته 2 :
تعداد قطرهاي هر n ضلعي محدب برابر با
½ (n)(n-3)
است.
نكته 3 :
در چند ضلعيهاي منتظم با تعداداضلاع زوج، اضلاع مقابل بر هم ، با هم موازيند.
نكته 4 :
در هر چند ضلعي منتظم با تعداد اضلاع فرد، عمودمنصف هر ضلع ، نيمساز زاويه مقابل به آن ضلع است. كه اين عمود منصف (يا نيمساز) محور تقارن آن چند ضلعي است.
متوازي الاضلاع
چهار ضلعي است كه هر دو ضلع آن موازي باشند. در متوازي الاضلاع، فاصله هر دو ضلع مقابل به هم را ارتفاع مي نامند.
ويژگيهاي متوازي الاضلاع
الف) در هر متوازي الاضلاع، اضلاع مقابل با هم برابر هستند.
ب)درهر متوازي الاضلاع زاويه هاي مقابل برابرند و هر دو زاويه مجاور يك ضلع مكمل يكديگرند. همچنين مجموع دو زاويه مجاور برابر 180 درجه است.
ج) در هر متوازي الاضلاع قطرها منصف يكديگرند.
د) در هر متوازي الاضلاع نقطه تقاطع دو قطر مركز تقارن آن شكل است.
ه) مساحت متوازي الاضلاع برابر با حاصلضرب قاعده در ارتفاع وارد بر آن است.
ز) در هر متوازي الاضلاع، نيمسازهاي داخلي دو به دو بر هم عمودند.
لوزي
لوزي متوازي الاضلاعي است كه چهار ضلع آن با هم برابر باشند. بنابراين لوزي كليه ويژگيهاي متوازي الاضلاع را دارد.
مساحت و محيط لوزي :
مساحت لوزي برابر نصف حاصلضرب اندازه هاي دو قطر است.
نكته 1 :
از هر لوزي يك دايره محاطي مي گذرد.
كايت
كايت يا شبه لوزي ، چهار ضلعي محدبي است كه داراي دو جفت اضلاع مجاور مساوي با دو اندازه مختلف باشد. در واقع كايت چهار ضلعي محدبي است كه داراي دو قطر عمود بر هم باشد و فقط يكي از قطرها منصف قطر ديگر باشد. قطري كه منصف قطر ديگر است، محور تقارن كايت و همچنين نيمساز دو زاويه مقابل است. مساحت كايت مانند مساحت لوزي محاسبه مي شود.
مستطيل
مستطيل متوازي الاضلاعي است كه يك زاويه آن قائمه باشد. بنابراين مستطيل كليه ويژگيهاي متوازي الاضلاع را داراست. خطي كه وسط دو ضلع مقابل را به هم وصل كند محور تقارن مستطيل است. بنابراين مستطيل دو محور تقارن دارد.
نكته 1 :
مساحت مستطيل برابر حاصلضرب طول در عرض آن است.
نكته 2 :
بر مستطيل يك دايره محيطي مي گذرد.
مربع
مربع مستطيلي است كه چهار ضلع آن با هم مساوي باشد و يا مي توان گفت ، مربع لوزي است كه يك زاويه آن قائمه باشد. بنابراين مربع كليه ويژگيهاي متوازي الاضلاع، مستطيل و لوزي را دارد.
نكته 1 :
در هر مربع قطرها بر هم عمود و با هم برابر و هر كدام محور تقارن شكل هستند.
نكته 2 :
مربع چهار محور تقارن (به تعداد اضلاع) دارد. مربع يك چهار ضلعي منتظم است و كليد ويژگيهاي چند ضلعي منتظم را داراست.
مساحت و محيط مربع : مساحت مربع برابر مجذوب يك ضلع است.
ذوزنقه
هر چهار ضلعي كه فقط دو ضلع آن با هم موازي باشند، ذوزنقه ناميده مي شود. دو ضلع موازي را قاعده ها، و دو ضلع غيرموازي را ساقها مي نامند. اگر دو ساق ذوزنقه با هم مساوي باشند ذوزنقه را متساوي الساقين مي نامند، اگر يكي از ساقها بر دو قاعده عمود باشد ذوزنقه را قائم الزاويه مي نامند.
نكته 1 :
در هر ذوزنقه دو زاويه مجاوز بر هر ساق مكمل يكديگرند.
نكته 2 :
در هر ذوزنقه متساوي الساقين دو قطر با هم و همچنين دو زاويه مجاور به هر قاعده با هم برابر هستند.
نكته 3 :
پاره خطي كه دو سر آن وسط هاي دو ساق ذوزنقه باشد، موازي دو قاعده آن ذوزنقه و اندازه آن برابر نصف مجموع اندازه هاي دو قاعده ذوزنقه است.
مساحت ذوزنقه :
مساحت ذوزنقه با نصف حاصلضرب مجموع دو قاعده درارتفاع آن برابر است.
چهار ضلعي هاي محيطي
چهار ضلعي محيطي چهار ضلعي است كه اضلاع آن بر يك دايره مماس باشند.
نكته 1 :
درهر چهار ضلعي محيطي مجموع دو ضلع مقابل با مجموع دو ضلع مقابل ديگر برابر است.
چهارضلعي هاي محاطي
چهار ضلعي محاطي چهار ضلعي است كه رأسهاي آن بر يك دايره واقع باشد.
نكته 1 :
در هر چهار ضلعي محاطي مجموع دو زاويه مقابل 180 درجه است.
وظایف قوه قضاییه چیست؟
قوه قضاییه در قانون اساسی وظایفی از جمله استخدام قضات عادل، احیای حقوق عامه و همچنین اقدام مناسب برای پیشگیری از وقوع جرم را بر عهده دارد.
۴- کشف جرم و تعقیب مجازات و تعزیر مجرمین و اجرای حدود و مقررات مدون جزایی اسلام ۵- اقدام مناسب برای پیشگیری از وقوع جرم و اصلاح مجرمین
اصل ۱۵۷: به منظور انجام مسئولیتهای قوه قضاییه در کلیه امور قضایی و اداری و اجرایی مقام رهبری یک نفر مجتهد عادل و آگاه به امور قضایی و مدیر و مدبر را برای مدت ۵ سال به عنوان رییس قوه قضاییه تعیین میکند که عالیترین مقام قوه قضاییه است اصل ۱۵۸: وظایف رییس قوه قضاییه به شرح زیر است: ۱- ایجاد تشکیلات لازم در دادگستری به تناسب مسئولیتهای اصل یکصد و پنجاه و ششم
۲- تهیه لوایح قضایی متناسب با جمهوری اسلامی ۳- استخدام قضات عادل و شایسته و عزل و نصب آنها و تغییر محل مأموریت و تعیین مشاغل و ترفیع آنان و مانند اینها از امور اداری، طبق قانون اصل۱۵۹: مرجع رسمی تظلمات و شکایات، دادگستری است. تشکیل دادگاهها و تعیین صلاحیت آنها منوط به حکم قانون است
اصل ۱۶۰: وزیر دادگستری مسئولیت کلیه مسائل مربوطه به روابط قوه قضاییه با قوه مجریه و قوه مقننه را بر عهده دارد و از میان کسانی که رییس قوه قضاییه به رییس جمهور پیشنهاد میکند انتخاب می شود. رییس قوه قضاییه میتواند اختیارات تام مالی و اداری و نیز اختیارات استخدامی غیر قضات را به وزیر دادگستری تفویض کند. در این صورت وزیر دادگستری دارای همان اختیارات و وظایفی خواهد بود که در قوانین برای وزرا به عنوان عالیترین مقام اجرایی پیشبینی میشود. اصل ۱۶۱: دیوان عالی کشور به منظور نظارت بر اجرای صحیح قوانین در محاکم و ایجاد وحدت رویه قضایی و انجام مسئولیتهایی که طبق قانون به آن محول میشود بر اساس ضوابطی که رییس قوه قضاییه تعیین میکند تشکیل میشود. اصل ۱۶۲: رییس دیوان عالی کشور و دادستان کل باید مجتهد عادل و آگاه به امور قضایی باشند و رییس قوه قضاییه با مشورت قضایت دیوان عالی کشور آنها را برای مدت پنج سال به این سمت منصوب میکند.
اصل ۱۶۳: صفات و شرایط قاضی طبق موازین فقهی به وسیله قانون معین میشود.
اصل ۱۶۴: قاضی را نمی توان از مقامی که شاغل آن است بدون محاکمه و پبوست جرم یا تخلفی که موجب انفصال است به طور موقت یا دائم منفصل کرد یا بدون رضای او محل خدمت یا سمتش را تغییر داد مگر به اقتضای مصلحت جامعه با تصمیم رییس قوه قضاییه پس از مشورت با رییس دیوان عالی کشور و دادستان کل. نقل و انتقال دورهای قضات بر طبق ضوابط کلی است که قانون تعیین میکند صورت میگیرد. اصل ۱۶۵: محاکمات، علنی انجام میشود و حضور افراد بلامانع است مگر آن که به تشخیص دادگاه، علنی بودن آن منافی عفت عمومی یا نظم عمومی باشد یا در دعاوی خصوصی طرفین دعوا تقاضا کنند که محاکمه علنی نباشد. اصل ۱۶۶: احکام دادگاهها باید مستدل و مستند به مواد قانون و اصولی باشد که بر اساس آن حکم صادر شده است. اصل ۱۶۷: قاضی موظف است کوشش کند حکم هر دعوا را در قوانین مدونه بیابد و اگر نیابد با استناد به منابع معتبر اسلامی یا فتاوای معتبر، حکم قضیه را صادر کند و نمیتواند به بهانه سکوت یا نقص یا اجمال یا تعارض قوانین مدونه از رسیدگی به دعوا و صدور حکم امتناع ورزد.
اصل ۱۶۸: رسیدگی به جرایم سیاسی و مطبوعاتی علنی است و با حضور هیأت منصفه در محاکم دادگستری صورت میگیرد. نحوه انتخاب، شرایط، اختیارات هیأت منصفه و تعریف جرم سیاسی را قانون ر اساس موازین اسلامی معین میکند. اصل ۱۶۹: هیچ فعلی یا ترک فعلی به استناد قانونی که بعد از آن وضع شده است جرم محسوب نمیشود.
اصل ۱۷۰: قضات دادگاهها مکلفند از اجرای تصویبنامهها و آییننامههای دولتی که مخالف با قوانین و مقررات اسلامی یا خارج از حدود اختیارات قوه مجریه است خودداری کنند و هر کس میتواند ابطال این گونه مقررات را از دیوان عدالت اداری تقاضا کند. اصل ۱۷۱: هرگاه در اثر تفسیر یا اشتباه قاضی در موضوع یا در حکم یا در تطبیق حکم بر مورد خاص، ضرر مادی یا معنوی متوجه کسی گردد، در صورت تقصیر، مقصر طبق موازین اسلامی ضامن است و در غیر این صورت خسارت به وسیله دولت جبران و در هر حال از متهم اعاده حیثیت میشود. اصل ۱۷۲: آرای رسیدگی به جرایم مربوط به وظایف خاص نظامی یا انتظامی اعضاء ارتش، ژاندارمری، شهربانی و سپاه پاسداران انقلاب اسلامی، محاکم نظامی مطابق قانون تشکیل میشود، ولی به جرایم عمومی آنان یا جرایمی که در مقام ضابط دادگستری مرتکب شوند در محاکم عمومی رسیدگی میشود.
دادستانی و دادگاههای نظامی، بخشی از قوه قضاییه کشور و مشمول اصول مربوط به این قوه هستند. اصل ۱۷۳: به منظور رسیدگی به شکایات، تظلمات و اعتراضات مردم نسبت به مأمورین یا واحدها با آیین نامه های دولتی و احقاق حقوق آنها، دیوانی به نام "دیوان عدالت اداری" زیر نظر رییس قوه قضاییه تأسیس میشود، حدود اختیارات و نحوه عمل این دیوان را قانون تعیین میکند. اصل ۱۷۴: بر اساس حق نظارت قوه قضاییه نسبت به حسن جریان امور و اجرای صحیح قوانین در دستگاههای اداری سازمانی به نام "سازمان بازرسی کل کشور" زیر نظر رییس قوه قضاییه تشکیل میشود، حدود اختیارات و وظایف این سازمان را قانون تعیین میکند.
قوه مجریه یکی از قوای سهگانه است که وظیفه اداره کشور بر اساس قوانینی را کهقوه مقننه مصوب کرده دارد. رئیس قوه مجریه رئیس جمهور است.
ارکان
قوه مجریه دارای ارکان مختلفی است:
۱. وزارتخانهها مانند وزارت کشور، وزارت امور خارجه و وزارت دفاع و سازمانها و شرکتهای تابعه
۲. معاونین و مشاورین ریاست جمهوری و سازمانهای تابعه مانند سازمان مدیریت و برنامه ریزی، بانک مرکزی، سازمان حفاظت از محیط زیست، سازمان تربیت بدنی
ریاست قوه مجریه
ریاست قوه مجریه در ایران با رییس جمهور است که با رای مستقیم مردم انتخاب میشود مانند آمریکا و ... در برخی کشورها که دارای نظام پارلمانی هستند مانند هندو انگلستان ریاست قوه مجریه با نخست وزیر است که توسط نمایندگان مجلس انتخاب میشود. گاه چنین کشورهایی دارای پادشاه مانند سوئد و یا رییس جمهور مانند آلمانهستند که مقامی تشریفاتی محسوب میشود. در برخی کشورها مانند روسیه، ترکیه و پاکستان ریاست جمهور و نخست وزیر هر دو دارای قدرت هستند.
وظایف قوه مجریه
اداره، سیاستگذاری و نظارت بر امور اقتصادی کشور، آموزش و پژوهش، روابط خارجه، بهداشت و درمان، کشاورزی و صنعت، امنیت و تامین نیازهای دفاعی و تامین نیازها و ملزومات سایر قوا مانند قوه مقننه، قوه قضائیه، شورای نگهبان و ... بر عهده قوه مجریهاست.
عدد اول
عدد اول عددی طبیعی بزرگتر از ۱ است که بر هیچ عدد مثبتی بجز خود و ۱بخشپذیر نباشد. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمیگیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است.
رقم یکان اعداد اول بزرگتر از ۱۰ فقط ممکن است ارقام ۱، ۳، ۷، و ۹ باشد.
پیدا کردن رابطهای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها دست نیافته است.
دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع میشود:
۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹، ۲۳، ۲۹، ۳۱، ۳۷، ۴۱، ۴۳، ۴۷، ۵۳، ۵۹، ۶۱، ۶۷،۷۱، ۷۳، ۷۹، ۸۳، ۸۹، ۹۷، ۱۰۱، ۱۰۳، ۱۰۷، ۱۰۹، ۱۱۳، ۱۲۷، ۱۳۱، ۱۳۷، ۱۳۹[۱]
محتویات
[نهفتن]
قضیهها[ویرایش]
- قضیه ۱: تعداد اعداد اول بینهایت است.
به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:
فرض خلف : اعداد اول متناهی است.
اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.
ضرب اعداد از بزرگتراست.
که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.
- قضیه 2 (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را میتوان به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.
- قضیه 3 (قضیه چبیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.
- قضیه 4 (قضیه اردیش (تعمیم قضیه چبیشف)): برای هر عدد طبیعی k، وجود دارد یک عدد طبیعی مثل N، که برای هر n>N ،بین n و 2n،
k عدد اول وجود دارد.
قضایای اعداد اول[ویرایش]
قضیه گلدباخ (تاکنون اثبات نشده): هر عدد زوج را میتوان به شکل جمع دو عدد اول نوشت.
مثال:
تابع شمارش اعداد اول[ویرایش]
در ریاضیات تابع شمارش اعداد اول تابعی است که برای بیان تعداد اعداد اول به کار میرود و آن را با نماد \pi(x) نمایش میدهند.
ریاضیدان فرانسوی پیر دوسارارت ثابت کرد که برای x ≥ ۵۹۹ رابطه زیر برقرار است:
همچنین ثابت کرد که برای هر x ≥ ۳۵۵۹۹۱:
بعدها ثابت شد که برای هر ε>۰ وجود دارد عددی طبیعی ماننده s که برای هر x>s رابطه زیر برقرار است:
قضیه اعداد اول (prime number theorem)[ویرایش]
اگر تعداد اعداد اول کمتر از باشد
آنگاه
-
10 4 0.921 102 25 1.151 103 168 1.161 104 1,229 1.132 105 9,592 1.104 106 78,498 1.084 107 664,579 1.071 108 5,761,455 1.061 109 50,847,534 1.054 1010 455,052,511 1.048 OEIS A006880 A057835
با استفاده از قضیه اعداد اول می توان اثبات کرد که:
که در آن تابع ، تابع مولد اعداد اول باشد. یعنی x امین عدد اول
اثبات مطلب بالا به شرح زیر است:
می دانیم
می دانیم توابع و معکوس هم هستند. یعنی:
در نتیجه می توان با حل معادله تابع را یافت.
می دانیم
پس با حل معادله می توان هم ارزی برای یاقت.
به روش تکرار ساده معادله را حل میکنیم.
اما باید توجه داشت چون به جای از تابع هم ارز آن استفاده شده پس:
در نتیجه:
قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول[ویرایش]
قضیه ویلسون راهی برای تشخیص اعداد اول است. این قضیه بیان میکند به ازای هر عدد اول مانند داریم
این قضیه دوشرطی است بنابراین راهی برای تشخیص اعداد اول از مرکب است یعنی:
برای هر عدد صحیح x اگر رابطه زیر برقرار باشد آنگاه x عددی اول است در غیر این صورت x عددی غیر مرکب است.
این قضیه تعمیم هایی به شکل زیر دارد:
تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی m>۲ عدد اول p
در اینجا عددی صحیح و مثبت است.
کشف و محاسبه[ویرایش]
بزرگترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان 57میلیون و 885هزار و 161منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است. گروه محاسباتی سراوان دیتا که یک گروه محاسباتی ارانی میباشد که در زمینههای مختلف محاسباتی از جمله اعداد اول فعالیت میکند اعداد بسیاری را کشف و محاسبه کرده از جمله تمام اعداد اول یک تا دویست میلیون
جایزهها برای پیدا کردن اعداد اول[ویرایش]
موسسه Electronic Frontier Foundation جایزهای به مبلغ صدهزار دلار برای اولین کسی که یک عدد اول با حداقل 10 میلیون رقم پیدا کند در نظر گرفته است.همچنین مبلغ 150 هزار دلار برای کسی که یک عدد اول با 100 میلیون رقم و 250 هزار دلار برای 1 میلیارد رقم در نظر گرفته شده است.این موسسه ممکن است مبلغ 100 هزار دلار برای دپارتمان ریاضی دانشگاه UCLA که موفق به کشف یک عدد اول 13 میلیون رقمی شدند پرداخت کند.
الگوهای توزیع اعداد اول[ویرایش]
یکی از مسائل مورد توجه ریاضیدانان، چگونگی توزیع و ترتیب قرارگرفتن اعداد اول درون رشته اعداد طبیعی است. این چگونگی دارای الگوهایی است که یکی از آنها به «الگوی پیشرفت عددی» معروف است.
مثلاً اگر به عدد ۵ که عددی اول است، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۱ و اگر به ۱۱، ۶ واحد اضافه کنیم به ۱۷ و اگر دوباره اضافه کنیم، به ۲۳ و ۲۹ میرسیم که همگی اعدادی اولند. اما با اضافه کردن ۶ واحد دیگر به ۳۵ میرسیم که عددی اول نیست و الگو متوقف میگردد.
مسئله مورد توجه اینست که در هر الگوی پیشرفت چند عدد اول پیش از رسیدن به اولین عدد غیر اول، بدست میآیند؟ طولانیترین رشتهای که تاکنون بدست آمده، ۲۲ عدد اول را شامل است. اولین عدد اول این رشته ۱۱۴۱۰۳۳۷۸۵۰۵۵۳ بوده که اگر عدد ۴۶۰۹۰۹۸۶۹۴۲۰۰ به آن اضافه شود عدد اول بعدی بوجود میآید و میتوان ۲۲ بار عدد مذکور را به اعداد اول مرحله قبل افزود و عدد اولی جدید بدست آورد. دو ریاضیدان اثبات کردهاند برای هر رشته از اعداد اول میتوان به یک رشته عددی رسید.
قانون گاوس
قانون گاوس در فیزیک با نام قضیه شار گاوس هم شناخته شده که قانونی است در ارتباط با توزیع بار الکتریکی که پیامد آن میدان الکتریکی است قانون گاوس توضیح میدهد که:
شار الکتریکی کل در هر سطح بستهای برابر است با بار کل احاطه شده توسط آن سطح
این قانون توسط کارل فردریک گاوس در سال ۱۸۳۵ فرمولبندی شد ولی در سال ۱۸۶۷ منتشر گشت. این قانون یکی از چهار معادله ماکسول است که اساس الکترودینامیک کلاسیک را تشکیل میدهند، سه تای دیگر عبارت اند از:قانون گاوس برای مغناطیس، قانون القاء فارادی، و قانون آمپر به تصحیح ماکسول. از قانون گاوس میتوان برای استخراج قانون کولن استفاده کرد و بالعکس. با اعمال مناسب قضیه واگرایی به قانون کولن , قانون گاوس نتیجه میشود.
قانون گاوس معمولاً به فرم انتگرالی زیر بیان میشود:
که در آن سمت چپ تساوی انتگرال سطحی است که نشر شار الکتریکی را از سطح بسته S بیان میکند، و سمت راست تساوی بار کل محصور شده در همان سطح S تقسیم بر ثابت الکتریکی است.
قانون گاوس همچنین فرم دیفرانسیلی به شکل زیر دارد:
که در آن E · ∇ دیورژانس میدان الکتریکی است و ρ چگالی بار است. فرم انتگرالی و دیفرانسیلی با قضیه دیورژانس به هم مرتبط میشوند. هر یک از این اشکال دیفرانسیلی و انتگرالی را میتوان به دو فرم دیگر بیان کرد: از دید ارتباط بین میدان الکتریکی E و بار الکتریکی کل، یا از دید جابجایی میدان الکتریکی D و بار الکتریکی آزاد. قانون گاوس تشابه ریاضیاتی زیادی با تعدادی از قوانین فیزیک در سایر زمینهها دارد، مثل قانون گاوس در مغناطیس و قانون گاوس در جاذبه. در واقع، هر «قانون مربع معکوس» را میتوان به شکل مشابهی با قانون گاوس فرمولبندی کرد: برای مثال، خود قانون گاوس خود اساساً برابر با مربع معکوس قانون کولن است، و قانون گاوس برای جاذبه اساساً با مربع معکوس قانون جاذبه نیوتون برابر است.
محتویات
[نهفتن]
از دیدگاه بار کل[ویرایش]
فرم انتگرالی[ویرایش]
برای حجم V با سطح S، قانون گاوس بیان میکند که
که ΦE,S شار الکتریکی در S است، Q بار کل در حجم V است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. شار الکتریکی از انتگرال گیری روی سطح Sبدست میآید:
که E میدان الکتریکی است و dA نشانگر برداری از المان بی نهایت کوچک سطح میباشد و (.) به عنوان ضرب داخلی برداری به کار میرود.
به کارگیری فرم انتگرالی[ویرایش]
اگر میدان الکتریکی همه جا معلوم باشد، قانون گاوس کار را خیلی راحتتر میکند، در اصل، برای یافتن توزیع بار الکتریکی: باری را که در هر ناحیه داده شده میتواند با یکپارچگی میدان الکتریکی و یافتن شار استنباط کرد. با این حال، بیشتر اوقات، این مشکل معکوسی است که باید حل شود: یعنی توزیع بار الکتریکی معلوم است، و میدان الکتریکی باید محاسبه شود. این خیلی مشکل تر است، زمانی که شما شار کل عبوری از سطح را میدانید، که این تقریباً هیچ اطلاعاتی در مورد میدان الکتریکی نمیدهد، که خود میتواند از روی الگوی پیچیدهای خودسرانه وارد و خارج سطح شود.
فرم دیفرانسیلی[ویرایش]
شکل دیفرانسیلی، قانون گاوس بیان میدارد که:
که · ∇نشان دهنده واگرایی یا همان دیورژانس، E میدان الکتریکی، و ρ چگالی بار کل است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. این معادله از لحاظ ریاضی بنا به قضیه دیورژانس با فرم انتگرالی معادل است.
هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی[ویرایش]
فرمهای دیفرانسیلی و انتگرالی از دیدگاه ریاضی معادل اند، از طریق قضیه دیورژانس. به بیان دقیق تر: فرم انتگرالی قانون گاوس به این صورت است که:
برای هر سطح بسته S که بار Q را در بر میگیرد. با قضیه دیورژانس، این معادله برابر است با:
برای هر حجم V که بار Q را در بر میگیرد. با توجه به ارتباط بین بار الکتریکی و چگالی بار، این تساوی معادل است با:
برای هر حجم V. برای این که این معادله به طور همزمان برای هر حجم ممکن V برقرار باشد، این شرط لازم و کافی است که معادلات زیر انتگرال برابر باشند. بنابراین، این تساوی معادل است با
پس معادلات دیفرانسیل و انتگرال معادل هستند.
از دیدگاه بار آزاد[ویرایش]
بار آزاد در مقابل بار مقید[ویرایش]
بار الکتریکی که در سادهترین موقعیتهای کتاب درسی بیان میشود در میان بار الکتریکی آزاد طبقه بندی میشود، برای مثال، باری که در الکترواستاتیک جابجا میشود، یا باری که روی صفحههای خازن ذخیره میشوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریکبیان میشود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.(تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار میگیرند، الکترونها در قید اتمهای خود میمانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود میدهند، بنابر این الکترونهای یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم میشود. همه این جابجاییهای میکروسکوپیک جمع میشوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساساً یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است، که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.
فرم انتگرالی[ویرایش]
این فرمولبندی از قانون گاوس بیان میدارد که، برای هر حجمV در فضا، با سطح S، رابطه زیر برقرار است:
که ΦD,S شار جابجایی میدان الکتریکی D از سطح S، و 'Qfree بار آزادی است که در حجم V قرار دارد. شار ΦD,S مشابه شار میدان الکتریکی ΦE,S که شار E از سطح S است تعریف شده. به ویژه که آن از انتگرال سطح بدست میآید
فرم دیفرانسیلی[ویرایش]
فرم دیفرانسیلی قانون گاوس، که فقط شامل بارهای آزاد میشود، بیان میدارد:
که D · ∇ دیورژانس جابجایی میدان الکتریکی است، و ρfree چگالی بار آزاد میباشد. فرم دیفرانسیلی و فرم انتگرالی از لحاظ ریاضیاتی معادل اند.
بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد [ویرایش]
در مواد خطی[ویرایش]
در مواد همگن، ایزوتروپیک، ناپاشنده خطی یک ارتباط ساده و زیبا بین E و D هست:
که ε ضریب گذر دهی الکتریکی مادهاست. تحت این شرایط هنوز یک جفت از فرمولهای قانون گاوس باقی است:
ارتباط با قانون کولن[ویرایش]
استخراج قانون گاوس از قانون کولن[ویرایش]
قانون گاوس میتواند از قانون کولن استخراج شود، قانون کولن بیان میدارد که میدان الکتریکی حاصل از بار ثابت است:
که:er بردار یکه شعاعی است، r شعاع است، : هم ثابت الکتریکی است، q بار ذرهاست، که فرض شده در مبدا قرار دارد.
با استفاده از این بیان قانون کولن، ما میدان کل را در فاصله r با استفاده از انتگرال گیری برای جمع تمام میدانها در r از بارهای بی نهایت خورد در فضای s را داریم:
اگر ما از هر دو طرف تساوی دیورژانس بر حسب r بگیریم داریم
که (δ(s تابع دلتای دیراک است، حاصل به شکل زیر بدست میدهد:
با استفاده از خاصیت غربالگری تابع دلتای دیراک میرسیم به:
که همان فرم دیفرانسیلی قانون گاوس هست، درست همان طور که انتظار داشتیم.
استخراج قانون کولن از قانون گاوس[ویرایش]
به صرف گفتار، قانون کولن را نمیتوان از قانون گاوس استخراج کرد چون قانون گاوس هیچ اطلاعاتی در مورد کرل یا تاو E نمیدهد. با این وجود، قانون کولن میتواند از قانون گاوس اثبات شود، بعلاوه، میدان الکتریکی حاصل از بار نقطهای به شکل کروی متقارن است(این فرض مثل خود قانون کولن است، که وقتی بار ثابت است دقیقاً صحت دارد، و وقتی بار در حرکت باشد تقریباً درست است).
قرار دادن S در فرم انتگرالی قانون گاوس سطح کرهای به دست میدهد به شعاع r، که بار نقطهای Q در مرکز قرار دارد:
با فرض تقارن کروی، حاصل انتگرال مقدار ثابتی میشود که میتوان از زیر انتگرال خارج کرد، و نتیجه میدهد:
که بردار یکه شعاعی است که سمت بار نقطهای را که در فاصله r هست نشان میدهد، دوباره با استفاده از تقارن کروی، E در راستای شعاعی را به دست میدهد:
که اساساً معادل قانون کولن میباشد.
دید کلی
تغییراتی که در واکنشی بر روی مواد واکنش دهنده صورت میگیرد، بطور کلی به دو نوع تغییر فیزیکی و تغییر شیمیایی ، تقسیم میشوند. در تغییر فیزیکی ، فقط حالت فیزیکی ماده تغییر مییابد. یعنی ساختار ذرههای تشکیل دهنده ماده تغییر نمیکند. بنابراین تغییر کلیه حالات ماده نظیر ذوب و انجماد و تبخیر و تصعید و غیره همچنین انحلال نمک ها و بازها در آب ، تغییر فیزیکی محسوب میشوند.
لیکن در تغییر شیمیایی ، در واقع اتصال اتمها به یکدیگر در واکنش دهنده ها دستخوش تغییر میشود و همچنین آرایش الکترونی اتمها نیز تغییر مییابد. البته باید توجه داشت که در جریان یک واکنش شیمیایی ، اتمها نه بوجود میآیند و نه از بین میروند و تنها شامل ترکیب ، تجزیه یا بازآرایی اتمهاست.
واکنش شیمیایی در واقع توصیفی برای یک تغییر شیمیایی است. واکنشهای شیمیایی ممکن است با آزاد کردن انرژی بصورت گرما ، نور یا صوت همراه باشند و تولید یک گاز ، تشکیل یک رسوب یا تغییر رنگ در پی داشته باشند.
روی دادن تغییر فیزیکی و تغییر شیمیایی بطور متوالی
البته مواردی وجود دارد که هر دو تغییر فیزیکی و شیمیایی بر روی یک پدیده ، بطور متوالی اتفاق میافتند. برای مثال ، با حرارت دادن تکه ای قند در لوله آزمایش ، ابتدا قند ذوب میشود که یک پدیده فیزیکی است. سپس به رنگ قهوه ای در میآید که نشاندهنده شروع تبدیل قند به کربن و یک پدیده شیمیایی است. در ادامه ، مقداری بخار آب به بالای لوله میرسد که نشانه تجزیه قند و ادامه پدیده شیمیایی قبل است.
پس قطرههای آب روی دیواره لوله آزمایش پدیدار میشود که نشاندهنده میعان بخار آب آزاد شده و یک پدیده فیزیکی است. در پایان ، در داخل لوله ، مادهای سیاهرنگ ، بیمزه و نامحلول در آب (برخلاف قند اولیه) باقی میماند که این ماده جدید ، زغال است و با توجه به تغییر رنگ ، مزه و حلالیت آن در آب ، نشاندهنده وقوع یک پدیده شیمیایی است.
انرژی شیمیایی
هر نوع پیوندی میان اتمهای مختلف سازنده مولکول یک جسم ، نوعی انرژی بنام در "انرژی شیمیایی" دارد که مقدار آن به نوع اتمها و نحوه قرار گرفتن آنها در مولکول بستگی دارد. در یک واکنش شیمیایی ، در واقع اتصال اتمها به یکدیگر در واکنشها دستخوش تغییر میشود و در نتیجه انرژی شیمیایی فراوردههای واکنش با انرژی شیمیایی واکنشدهندهها تفاوت پیدا میکند.
به عنوان مثال ، واکنش گاز کلر با گاز هیدروژن را در نظر بگیریم. گاز کلر از مولکولهای دو اتمی Cl2 و گاز هیدروژن از مولکولهای دو اتمی H2 تشکیل شدهاند. فراورده واکنش ، کلرید هیدروژن HCl خواهد بود که در مقایسه با واکنشدهنده با پیوندهای کاملا متفاوتی دارد و از این رو انرژی شیمیایی آنها متفاوت است.
اکنون این پرسش مطرح میشود که با توجه به متفاوت بودن انرژی شیمیایی فراوردهها و واکنشدهندهها با در نظر گرفتن "قانون پایستگی انرژی" این اختلاف انرژی به چه صورت ظاهر میشود؟
تغییر گرماگیر و تغییر گرماده
مطابق قانون پایستگی انرژی ، در هر واکنش ، باید انرژی کل ثابت بماند. بنابراین در واکنشها ، اختلاف انرژی میان فراوردهها و واکنشدهندهها به صورت گرما ظاهر میشود. از این رو ، واکنشهایی نظیر واکنشهای سوختن متان و با تشکیل کلرید هیدروژن که در آنها ، سطح انرژی فراوردههای واکنش از مواد واکنشدهنده پایینتر باشد، بعلت تولید انرژی گرمایی گرماده میگوییم و در مقابل ، واکنشهایی که در آنها سطح انرژی شیمیایی فراوردهها بیشتر از واکنشدهندهها باشد، واکنشهای گرماگیر نامیده میشوند و برای انجام چنین واکنشی باید مقداری گرما به اجزای واکنشدهنده داده شود، مانند تجزیه کردنکلرید آمونیوم جامد که با گرم کردن ، به دو گاز آمونیاک و کلرید هیدروژن تبدیل میشود.
بنابراین در اندازه گیری و محاسبه انرژی واکنشهای شیمیایی ، چیزی که همیشه محسوس و قابل اندازهگیری است، تفاوت محتوای انرژی یا بعبارتی سطح انرژی مواد اولیه و محصولات عمل است که معمولا به تغییر محتوای گرمایی ، تغییر آنتالپی گفته میشود و با ΔH نمایش میدهند و در یک واکنش گرماده خواهیم داشت:
به این ترتیب تغییر آنتالپی ΔH در یک واکنش انرژیده ، منفی است.
در یک واکنش گرماگیر خواهیم داشت:
پس تغییر آنتالپی ، ΔH در یک واکنش انرژیگیر ، مثبت است.
واکنشهای شیمیایی برگشت پذیر و برگشت ناپذیر
واکنشهای برگشت ناپذیر
در این قبیل واکنشها ، محصولات واکنش بر هم اثر شیمیایی ندارند. به همین دلیل واکنش فقط در جهت رفت انجام میگیرد و تا مصرف شدن کامل واکنشدهنده پیش میرود. مثلا اگر تکهای نوار منیزیم را در ظرف محتوی HClوارد کنیم، واکنش شدیدی میان منیزیم و اسید رخ میدهد و فلز بتدریج در اسید ، حل و ناپدید میشود و همزمان با ناپدید شدن فلز ، حبابهای گاز هیدروژن درون اسید به چشم میخورند که از ظرف خارج میشوند.
بنابراین این واکنش یکطرفه است و فقط در جهت رفت پیش میرود. یعنی اگر مقداری گاز هیدروژن را در محلول کلرید وارد کنیم، هیچگونه واکنشی انجام نمیگیرد.
علاوه بر واکنش فوق ، سوختن انواع سوختها مانند بنزین ، نفت ، گاز طبیعی و... در مجاورت هوا ، محکم شدن تدریجی سیمان ، پختن تخم مرغ ، مچاله شدن نایلون در برابر شعله ، نمونههایی از واکنشهای برگشت ناپذیرند.
واکنشهای برگشت پذیر
این واکنشها در شرایط مناسب در هر دو جهت رفت و برگشت پیش میروند، مثلا اگر بخار آب را از روی گرد آهن داغ عبور دهند، اکسید آهن همراه با گاز هیدروژن پدید میآید.
و اگر گاز هیدروژن را بر اکسید آهن ( Fe3O4 ) عبور دهند، آهن و بخار آب تولید میشود. واکنش برگشت:
واکنش رفت و برگشت در مجموع یک واکنش برگشت پذیر را تشکیل میدهند و در نتیجه ، واکنش اثر بخار آب بر آهن داغ ، برگشت پذیر است. در زندگی روزانه با موارد زیادی از واکنشهای برگشت پذیر برخورد میکنیم، مانند شارژ مجدد باطری اتومبیل. مواد شیمیایی موجود در باطری خودرو هنگام تولید جریان برق بتدریج مصرف شده و به مواد دیگری تبدیل میشود. با شارژ مجدد باطری ، واکنشهای برگشت انجام میگیرند و مواد اولیه پدید میآیند.
مثالهایی از فرایندهای شیمیایی
همانظور که قبلا ذکر شد، در تغییر شیمیایی ، ماهیت شیمیایی مواد تغییر مییابد و فراوردههای جدید با خواص متفاوت از مواد اولیه تولید میشود. بنابراین پدیده های زیر نمونه هایی از تغییرهای شیمیایی محسوب میشوند:
- سوختن انواع سوختها. مانند بنزین ، نفت ، گاز طبیعی و... در مجاورت هوا
- زنگ زدن فلزات
- گوارش غذا
- رسیدن میوه
- پختن غذا
- فساد مواد
- محکم شدن تدریجی سیمان.
- انحلال آمونیاک در آب. زیرا در اثر انحلال ، قسمتی از مولکولهای آمونیاک با مولکولهای آب ترکیب شده و ماده جدیدی به نام هیدروکسیدآمونیوم تولید مینمایند. بهمین دلیل که واکنش شیمیایی بین حلال و حل شونده رخ میدهد، حل شدن بیشتر جنبه شیمیایی دارد.
- لخته شدن مواد کلوئیدی. در اثر لخته شدن ، پیوندهای جدیدی تشکیل میگردد که باعث تجمع مولکولهای یک محلول کلوئیدی میشود.
اعداد حسابی
اعداد حسابی همان اعداد طبیعی هستند که صفر هم به آنها اضافه شده است. به عبارت دیگر به مجموعهی اعداد زیر ، اعداد صحیح یا اعداد درست گویند و آن را با Z نمایش میدهند:
{ ... , 3 , 2 , 1 , 0 , 1- , 2- , 3- , ...} = Z
درواقع اعداد صحیح شامل اعداد طبیعی مثبت و اعداد طبیعی منفی و عدد صفر است. این اعداد همانند اعداد طبیعی جزء مجموعه های شمارش پذیر نامتناهی است. شاخه ای از ریاضیات که به مطالعه در مورد ویژگیهای اعداد صحیح می پردازدنظریه اعداد نام دارد.
صحیح همانند اعداد طبیعی نسبت به اعمال جمع و ضرب بسته است،یعنی جمع و ضرب هر دو عدد صحیح، یک عدد صحیح است. و چون اعداد صحیح شامل اعداد منفی و صفر می باشند بنابراین بر خلاف اعداد طبیعی نسبت به عمل تفریق نیز بسته اند.ولی چون حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر هم ممکن است عددی صحیح نباشد،پس نمیتواند نسبت به عمل تقسیم بسته باشد.
اعداد طبیعی
اعداد طبیعی، اعدادی هستند که برای شمردن به کار میروند. مجموعه اعداد طبیعی {... ,۳ ,۲ ,۱} است.
در این مجموعه عدد صفر وجود ندارد و با اضافه کردن آن، مجموعه اعداد حسابی به وجود میآید. این مجموعه یک مجموعه نامتناهی است.
در ریاضیات، مجموعه اعداد طبیعی را با نماد N نمایش میدهند. این حرف از آغاز واژه انگلیسی Natural، به معنای طبیعی، گرفته شده است.
اعداد گنگ اعداد اصم
اعداد گنگ، یا اعداد اصم، اعدادی حقیقی هستند که گویا نباشند، یعنی نتوان آنها را به صورت کسری که صورت و مخرجش عدد صحیح باشند نوشت. مجموعه اعداد گنگ مجموعهای ناشمارا است ولي میتوان اعداد گنگ را روي محور اعداد نمايش داد كار بسيار ساده ايي است كافي است هندسه را در رياضيات مورد استفاده قرار دهيم . امتحان كنيدميتوان از رابطه فيثاغورث استفاده كرد.
اعداد اول
اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخشپذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمیگیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگتر از ۱ اول نباشد مرکب است.
عدد یکان اعداد اول بزرگتر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.
اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.
سری اعداد اول به این صورت شروع میشود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...
قضیه ۱: تعداد اعداد اول بینهایت است.
برهان: حکم را به روشی که منسوب به اقلیدس است اثبات میکنیم: فرض کنید تعداد اعداد اول متناهی و تعداد آنها n تا باشد. حال عدد M را که برابر حاصلضرب این اعداد به علاوه ۱ را در نظر بگیرید. این عدد مقسومعلیهی غیر از آن n عدد دارد که با فرض در تناقض است.
قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگتر از ۱ را به شکل حاصلضرب اعدادی اول نوشت.
قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگتر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد. قضيه ۴ هر عدد زوج را میتوان بصورت جمع سه عدد اول نوشت.
قضيه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را میتوان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پايه قضيه ۴)
قضيه 6-هر عدد فرد را میتوان به صورت دو برابر يك عدد اول بعلاوه يك عدد اول ديگر نوشت.
خواص اعداد اول
1- هر عدد اول برابر است با 6n+1 يا 6n-1 كه n يك عدد صحيح است.
2-مجذور هر عدد اول برابر است با 24n+1.
3-تفاضل مجذورهاي دو عدد اول مضربي از 24 است.
4-حاصلضرب هر دو عدد اول بجز 2و3 مضربي از 6 بعلاوه يا منهاي يك است.
توان چهارم هر عدد اول بجز 2و3 مضربي از 240 بعلاوه يك است.
بزرگترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ۳۰ميليون و ۴۰۲هزار و ۴۵۷منهاي يك است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر 2 به توان n منهای یک است.
لازم به ذكر است كه تعداد 3000 عدد اول در سايت مگاسندرwww.megasender.org وجود دارد و افرادي كه مايل به دريافت بيشتر اين اعداد هستند مي توانند با سايت مذكور تماس گرفته و تعداد بيشتري از آنها را بر روي لوح فشرده دريافت نمايند و طراحان اين سايت خودشان اين اعداد را محاسبه نموده اند.
اعدد جبری
اعداد جبری در ریاضیات اعدادی هستند که جواب معادلهای به شکل زیر باشند:
anxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0 = 0ضریبهای a0 تا an در این معادله چند جملهای اعداد گویا هستند.
تمام اعداد گویا اعداد جبری هم هستند. بعضی از اعداد حقیقی عدد جبری نیستند. عددی که جبری نباشد عدد متعالی (یا غیرجبری) نامیده میشود.
اعداد گویا
اعداد گویا1 حاصل تقسیم دو عدد صحیح بر یکدیگرست، به شرطی که عدد دوّم (مقسوم علیه) صفر نباشد. به بیان دیگر، هر عدد گویا را میتوان به شکل a/b یا آ بيم نوشت (که a و b اعداد صحیحاند).
در ریاضیات، مجموعه اعداد گویا را، عموماً، با Q نمایش میدهند. به عنوان مجموعهای شمارا (یا قابل شمارش)، ولی نامتناهی، مجموعهٔ اعداد گویا، خود، زیرمجموعهایست چگال (dense) از مجموعهٔ بزرگتر و عمومیتر اعداد حقیقی.
اعداد صحیح
مجموعهٔ اعداد صحیح به اجتماع مجموعهٔ اعداد طبیعی، قرینهٔ اعداد طبیعی ، و {0} (مجموعه ای که تنها عدد صفر عضو آن است) گفته می*شود. در ریاضیّات، معمولاً این مجموعه را با Z یا (ابتدای کلمه آلمانی Zahlen به معنی اعداد) نشان می*دهند. همانند مجموعهٔ اعداد طبیعی، مجموعهٔ اعداد صحیح نیز یک مجموعهٔ شمارای نامتناهی*ست.
شاخه*ای از ریاضیّات که به مطالعهٔ اعداد صحیح می*پردازد، نظریهٔ اعداد نام دارد.
خواص جبری
همانند اعداد طبیعی، نیز نسبت به دو عمل جمع و ضرب بسته است. این بدان معناست که حاصل جمع و حاصل ضرب دو عدد صحیح، خود، یک عدد صحیح است. بر خلاف مجموعهٔ اعداد طبیعی، از آنجا که اعداد صحيح منفی، و به ویژه، عدد صفر هم به تعلق دارند، این مجموعه، نسبت به عمل تفریق نیز بسته است. اما تحت عمل تقسیم بسته نیست، زیرا خارج قسمت تقسیم دو عدد صحیح، لزوما عددی صحیح نخواهد بود.
برخی از خواصّ اساسی مربوط به عملیّات جمع و ضرب در جدول زیر گنجانیده شده است (در اینجا b ،a، و c اعداد صحیح دل*خواه هستند:)
جمع ضرب
بسته بودن:
a + b یک عدد صحیح است a × b یک عدد صحیح است
شرکت پذیری:
a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
تعویض پذیری:
a + b = b + a a × b = b × a
وجود یک عنصر واحد:
a + 0 = a a × 1 = a
وجود یک عنصر عکس:
a + (−a) = 0
توزیع پذیری:
a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
نداشتن مقسوم علیه*های صفر:
اگر ab = 0، آنگاه a = 0 یا b = 0
مطابق جدول بالا، خواصّ بسته بودن، شرکت پذیری و جابه جایی (یا تعویض پذیری) نسبت به هر دو عمل ضرب و جمع، وجود عضو همانی (واحد، یا یکّه) نسبت به جمع و ضرب، وجود عضو مع*** فقط نسبت به عمل جمع، و خاصیّت توزیع پذیری ضرب نسبت به جمع از اهمیت برخوردارند.
اعداد مرکب
عدد مرکب عددی طبیعی بجز یک است که اول نباشد.
- پانزده عدد مرکب اول عبارتاند از:
۴, ۶, ۸, ۹, ۱۰, ۱۲, ۱۴, ۱۵, ۱۶, ۱۸, ۲۰, ۲۱, ۲۲, ۲۴ و ۲۵
- قانون برای تمام اعداد مرکب وبزرگ تر از ۵(فقط ۴ از این قاعده پیروی نمیکند) صدق میکند.
اعداد حقیقی
مجموعه اعداد حقیقی که با R نمایش داده می شود و شامل کلیه ی اعداد صحیح,گویا,طبیعی و حسابی و همچنین شامل R-Q است که اعدادگنگ یا اصم می باشد می شود
در دوران حیات فیبوناچی مسابقات ریاضی در اروپا بسیار مرسوم بود در یکی از همین مسابقات که در سال ۱۲۲۵ در شهر پیزا توسط امپراتورفردریک دوم برگزار شده بود مسئله زیر مطرح شد:
«فرض کنیم خرگوشهایی وجود دارند که هر جفت (یک نر و یک ماده) از آنها که به سن ۱ ماهگی رسیده باشند به ازاء هر ماه که از زندگیشان سپری شود یک جفت خرگوش متولد میکنند که آنها هم از همین قاعده پیروی میکنند حال اگر فرض کنیم این خرگوشها هرگز نمیمیرند و در آغاز یک جفت از این نوع خرگوش در اختیار داشته باشیم که به تازگی متولد شدهاند حساب کنید پس از n ماه چند جفت از این نوع خرگوش خواهیم داشت.»
فرض کنیم xn تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد، میدانیم که x۲=۱,x۱=۱، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+۱ ام برابر خواهد بود با حاصل جمع تعداد جفت خرگوشهایی که در این ماه متولد میشوند با تعداد جفت خرگوشهای موجود(xn).اما چون هر جفت خرگوش که از دو ماه قبل موجود بوده هم اکنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زادو ولد رسیدهاند تعداد جفت خرگوش های متولد شده برابر خواهد بود با xn-۱، پس خواهیم داشت:
x۱ = ۱ , x۲ = ۱ , xn + ۱ = xn + xn - ۱
که اگر از قواعد مذکور پیروی کنیم به دنباله زیر خواهیم رسید که به دنباله فیبوناچی مشهور است.
۱, ۱, ۲, ۳, ۵, ۸, ۱۳, ۲۱, ۳۴, ۵۵, ۸۹, ۱۴۴, ۲۳۳, ۳۷۷, ۶۱۰, ۹۸۷, ۱۵۹۷, ۲۵۸۴,…
فیبوناچی با حل این مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان ریاضیات معرفی کرد که خواص شگفتانگیز و کاربردهای فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر ریاضیدانان بلکه دانشمندان بسیاری از رشتههای دیگر را به خود جلب کرده.
رابطهٔ دنبالهٔ فیبوناچی به این شکل است:
برای مثال برای به دست آوردن جملهٔ دهم باید جملهٔ نهم (۳۴) و جملهٔ هشتم (۲۱) را با هم جمع کنیم که برابر ۵۵ میشود.
جمله عمومی دنباله فیبوناچی[ویرایش]
چند فرمول برای احتساب جملهٔ nام دنبالهٔ فیبوناچی، بدون استفاده از جملات ماقبل وجود دارد.
- ، یکی از این فرمول هاست.
- (فی) همان عدد طلایی است که برابر با : میباشد.
ارتباط عدد طلایی با دنباله فیبوناچی[ویرایش]
روشهای متفاوتی برای بیان رابطه بین عدد طلایی و دنباله فیبوناچی وجود دارد که ما در اینجا به دو نمونه بسنده میکنیم.
نسبت دو عضو متوالی دنباله[ویرایش]
اولین مطلبی که در زمینه ارتباط با دنباله فیبوناچی قابل ذکر است به این قرار است: دنباله را بار دیگر در نظر میبینیم:
۱۰----۹----۸----۷----۶----۵----۴----۳----۲----۱----شماره جمله
۵۵----۳۴----۲۱----۱۳----۸----۵----۳----۲----۱----۱----مقدار جمله
نسبت جمله دوم به اول برابر است با ۱
نسبت جمله سوم به دوم برابر است با ۲
نسبت جمله چهارم به سوم برابر است با ۱٫۵
نسبت جمله پنجم به چهارم برابر است با ۱٫۶۶
نسبت جمله ششم به پنجم برابر است با ۱٫۶
نسبت جمله هفتم به ششم برابر است با ۱٫۶۲۵
نسبت جمله هشتم به هفتم برابر است با ۱٫۶۱۵
نسبت جمله نهم به هشتم برابر است با ۱٫۶۱۹
نسبت جمله دهم به نهم برابر است با ۱٫۶۱۷
به نظر میرسد که این رشته به عدد طلایی نزدیک میشود. اگر نسبت عدد چهلم این رشته را به عدد قبلی حساب کنیم به عدد ۱٫۶۱۸۰۳۳۹۸۸۷۴۹۸۹۵ میرسیم که با تقریب ۱۴ رقم اعشار نسبت طلایی را نشان میدهد. نسبت جملات متوالی به عدد طلایی میل میکند.
معادله خط[ویرایش]
معادلهٔ خطی به صورت y=mx در نظر میگیریم. m به معنی شیب خط است و یک عدد حقیقی است. میدانیم اگر m گنگ باشد، خط y=mx از هیچ نقطهای با مختصات صحیح به جز مبدأ عبور نخواهد کرد. در واقع این خط امکان ندارد از نقطهای (جز مبدأ) عبور کند که هم x و هم y آن عدد صحیح باشند.
حال به جای m قرار میدهیم: φ. یعنی خط y=φx را در نظر میگیریم. چون φ هم یک عدد گنگ است، این خط از هیچ نقطهای با x و y صحیح (جز مبدأ) عبور نخواهد کرد. به همین دلیل نقطههایی را با x و y صحیح در نظر میگیریم که کمترین فاصله را از این خط دارند. ابتدا به نظر میرسد نقطهٔ (۱، ۱) کمترین فاصله را با این خط دارد. ولی فاصلهٔ نقطهٔ (۲، ۱) از این خط کمتر است. نقطهٔ (۳، ۲) فاصلهٔ کمتری با این خط دارد. همچنین فاصلهٔ نقطهٔ (۵، ۳) از این هم کمتر است. این نقاط به همین ترتیب ادامه خواهند یافت و در زیر چند نقطهٔ بعدی را که فاصلهشان از این خط کمتر میشود را میبینید:...،(۵۵، ۳۴)، (۳۴، ۲۱)، (۲۱، ۱۳)، (۱۳، ۸)، (۸، ۵)، (۵، ۳)، (۳، ۲)، (۲، ۱)، (۱، ۱)
صحت مطالب فوق به راحتی قابل بررسی است. با کمی دقت در مختصات این نقاط درخواهیم یافت که این مختصات از الگوی دنباله فیبوناچی پیروی میکنند. این نقاط را نقاط فیبوناچی مینامند.
انواع روش های جداسازی:
هدف از جداسازی ، حذف مزاحمتها ، غلیظ کردن محلول مورد نظر و یا سایر موارد است. برای جداسازی از اختلاف در خصوصیات فیزیکی استفاده میشود، مثل فراریت ، حلالیت و ضریب تقسیم مواد__ و ... . در آنالیز و جداسازی مواد مختلف از تکنیکهای ویژهای برحسب نوع و ساختار مواد و مخلوطها استفاده میشود که برخی از آنها که معروف بوده و حائز اهمیت بیشتری هستند، در زیر میآوریم.
تبلور:
هدف از تبلور ، جداسازی ناخالصی از اجسام جامد است. در این روش ، ابتدا جامد ناخالص را در یک حلال گرم حل میکنند، سپس محلول را صاف میکنند. ناخالصیها در فاز مایع باقی میمانند. اگر تبلور طی چند مرحله صورت گیرد، به آن تبلور جزء به جزء میگویند. در این روش انتخاب حلال از اهمیت بالایی رخوردار است. اگر از تکنیک ذوب برای جداسازی ناخالصی از جامد استفاده شود، به آن تصفیه ذوب گویند.این روش در جدا کردن ناخالصیهای ژرمانیم و اسید بتروییک کاربرد دارد. در این فرآیند ، ضریب تقسیم برابر با نسبت غلظت ناخالصی در فاز جامد به غلظت ناخالصی در فاز مایع است.
فرایند تبلور
|
علوم طبیعت > شیمی > شیمی فیزیک > شیمی بلور | -->(cached) |
تبلور یک ماده ، عبارتست از جهت یافتگی ذرهای و آرایش مولکولی و تثبیت این نظم در فضای ماده. |
تاریخچه بلورشناسی
فلاسفه قدیم نیز منشاء بلورهای یک سنگ را بلورهای یخ میدانستند که بر اثر تحمل سرمای بسیار شدید در طول مدت مدید ، طوری سخت و مقاوم شده است که میتواند حرارتهای بالاتر از صفر را هم تحمل نماید. در سال 1690 ، "Huyghens" دریافت که بلورها از اجتماع ذرات کوچکتر بوجود آمدهاند و در سال 1912 ، "M.V.Laue" توانست تئوری ساختمان شبکهای در بلورها را با استفاده از اشعه ایکس به اثبات برساند.
تبلور و نمو بلورها
تبلور معمولا در موقع تبدیل یک حالت فیزیکی به حالت فیزیکی دیگر صورت میگیرد. این تبدیل به سه صورت زیر انجام میشود:
تبلور در هنگام تبدیل حالت مایع به جامد
- انجماد مواد مذاب :
اگر ماده مذاب به سرعت سرد شود، اتمها یا مولکولها با هر موقعیتی که دارند، متراکم و بیحرکت میشوند و ماده منجمد میگردد. در این صورت جسمی جامد و ایزوتوپ بدون داشتن نظم ذرهای تشکیل میشود. اگر سرد شدن با آرامی و کند انجام شود، اتمها و مولکولها با توجه به نیروی جاذبه خود و اطاعت از شبکه تبلور کنار هم چیده شده و نطفه بلور را تشکیل میدهند. سپس در نتیجه اتصال سایر مولکولهای منزوی و معلق در ماده مذاب به نطفه بلور ، حجم آن افزایش مییابد تا اینکه به بلوری درشت تبدیل میگردد. - تبلور مواد محلول :
در این نوع تبلور باید محلول به حال فوق اشباع باشد. در چنین محلولهایی بلورها تشکیل و تهنشین میشوند. این بلورها ابتدا به صورت نطفههای متحرک میباشند، علت تحرک آنها حرکات قبلی یونها و مولکولهای سازنده آنها است. در محلولها نیز مانند انجماد مواد مذاب ، رشد بلورها از طریق اتصال منظم یونها ، اتمها و مولکولهای معلق در محلول به نطفههای بلور صورت میگیرد.
تبلور در هنگام تبدیل حالت بخار به جامدسوبلیماسیو ن
در این حالت تبلور ، بلورها مستقیما از تبدیل بخار به جامد حاصل میشوند. این بلورها معمولا کوچک و دارای طرح اولیه میباشند که اصطلاحا اسکلت بلور گفته میشود. در طبیعت ، سوبلیماسیون در گازهای خشک آتشفشانی دیده میشود. در این حالت مواد گازی آتشفشانی در شکافهای توده آذرین مستقیما به بلور تبدیل میگردند. مثال بسیار روشن برای پدیده سوبلیمانسیون ، تشکیل قشرهای بلور یخ ناشی از انجماد مستقیم بخار آب اطاقها بر روی شیشه پنجرهها در سرمای زمستان میباشد.
تبلور مواد جامد
حالت سوم تبلور که خوب شناخته نشده و در طبیعت فراوان دیده میشود، تبلور در محیط جامد است. در این حالت رشد بلورها بخرج بلورهای کوچکتر و تحت تاثیر فشار و حرارت و در مدت زمان طولانی صورت میگیرد. برای مثال امروزه سنگهای شیشهای آتشفشانی خیلی قدیمی را متبلور میبینیم. بنابراین معلوم میشود که این گونه سنگها به تدریج در طول زمان متبلور شدهاند. سنگهای آهکی دانه ریز که از بلورهای ریز کربنات کلسیم تشکیل شدهاند، تحت تاثیر عوامل دگرگونی (فشار و حرارت) به مرمر که دارای بلورهای دانه درشت کلسیت است، تبدیل میگردد.
تاثیر عوامل خارجی در نمو بلورها
شرایط زیر سبب بوجود آمدن اختلاف در اندازه بلورها میگردد:
-
سرعت انجماد :
افزایش طول مدت انجماد یک ماده مذاب امکان تغذیه شیمیایی بیشتر بلورها از ماده مذاب را فراهم میسازد. بنابراین کم شدن سرعت انجماد ، موجب تشکیل بلورهای درشت و تسریع در انجماد سبب تشکیل بلورهای کوچک و ریز میگردد. ۱-وجود مواد فرار :
وجود بخار آب و گازها در یک ماده مذاب ، نقطه انجماد را پایین آورده و سرعت انجماد را کند میسازد. بنابراین باعث افزایش رشد بلورهای آن ماده میشود. به عنوان مثال در رگههای پگماتیت به علت وجود بخار آب و گازهای فراوان در ماده مذاب پگماتیتی ، بلورها به مراتب درشتتر از بلورهای توده آذرین اصلی است، حال آنکه سرعت انجماد در رگههای پگماتیت از سرعت انجماد توده آذرین اصلی بیشتر بوده است.
۲-تراکم محلول :
اندازه بلورها در یک محلول بستگی به درجه اشباع شدگی آن محلول دارد. در محلولهای فوق اشباع تعداد مراکز تبلور فراوان میباشد و در نتیجه اندازه بلورها کوچک خواهد شد. برعکس در محلولهائی با درجه اشباع شدگی کمتر تعداد مراکز تبلور کم بوده و بنابراین اندازه بلورها درشتتر خواهد بود.
میانبار یا ادخال در بلورها
در حین رشد بلور ممکن است موادی به صورت جامد ، مایع و یا گاز به سطح بلور بچسبد. ادامه رشد بلور باعث میشود که این مواد در درون بلور قرار گرفته، موجب تشکیل ادخال در داخل بلور گردد، حبابهایی خیلی کوچک گاز کربنیک همراه با آب در داخل بلور کوارتز و یا قطرات خیلی کوچک آب در بلورهای نمک طعام و نیز قطرات مواد مذاب غیر متبلور (شیشه) در درون بلورهای فلدسپات ادخالهائی میباشند که همزمان با تبلور بلور در داخل آن قرار میگیرند.
اجتماع بلورها
اجتماع بلورها به دو صورت اجتماع منظم و نامنظم مشاهده میشود:
-
اجتماع نامنظم :
در این نوع ، اجتماع بلورها در جهات مختلف بدون رعایت نظم و ترتیب صورت میگیرد. مثلا در یک توده نبات یا در اختلاط گچ زنده با آب میبینیم که گچ میبندد. سخت و یکپارچه شدن این ماده به علت تبلور مجدد بلورهای ژیپس و چسبیدن آنها به یکدیگر صورت میگیرد. -
اجتماع منظم :
هرگاه در زمان تشکیل و نمو بلورها ، شرایط مناسب باشد، نطفههای بلور بطور اتفاقی در کنار هم نمیگیرند، بلکه طبق قواعد معین با نظم و ترتیب خاصی با یکدیگر ، رشد و نمو خواهند نمود. صورتهای مختلف اجتماع منظم بلورها عبارتند از:-
اجتماع کروی (اسفرولیتی) :
اگر تبلور ماده مذاب سریع صورت بگیرد و تعداد مراکز تبلور کم باشد، بلورها به شکل سوزنهای باریک و به صورت دستجات کروی و جدا از هم تشکیل میشوند، مانند بلورهای سوزنی شکل طلا و کلرور پتاسیم که در سیستم کوپیک متبلور میشوند. -
اجتماع موازی :
در این گونه تجمع ، بلورها بطور موازی در کنار یکدیگر قرار میگیرند و دارای سطوح مشترکی میباشند. در اجتماع موازی بلورها معمولا بلورهای همجنس شرکت دارند، مانند بلور کوارتز. -
اجتماع بلورهای غیرهمجنس :
علاوه بر بلور همجنس ، بلورهای غیرهمجنس نیز به نوبه خود تشکیل اجتماع منظم و یا جهتدار میدهند. این نوع اجتماعات بر پایه تشکیل نطفه بلوری بر روی بلور دیگری قرار دارد، به نحوی که سطح مشترک بین دو بلور از نظر ساختمان شبکهای مشابه باشند. برای مثال ، اغلب بر روی بلورهای ورقهای هماتیت بلورهای سوزنی شکل روتیل نمو نمودهاند و در پگماتیتها بلورهای کوارتز در داخل بلور ارتوز به صورت اجتماع موازی دیده میشود.
-
اختصاصات مواد متبلور
اجسام متبلور به خاطر داشتن شکل مخصوص ، سختی ، خاصیت ارتجاعی ، مقاومت محدود در مقابل حرارت و فشار و نقطه ذوب از مایعات و گازها متمایز میشوند. بعضی از مواد متبلور مانند پارافین نرم هستند و اجسامی مانند شیشه و پلاستیک هرچند که جامدند، ولی متبلور نمیباشند. بلورها اجسامی همگن و انایزوتوپ هستند. انایزوتوپ بودن بلور به این علت است که اختصاصات فیزیکی مانند سرعت انتشار حرارت و نور یا درجه سختی و غیره در جهات موازی آنها برابر میباشد و در جهات مختلف نابرابر میباشد.
رنگ بلورها
هرگاه بخش اعظم نور از بلور عبور کند و فقط مقدار کمی از آن جذب گردد، بلور شفاف دیده میشود و چنانچه مقدار نور جذب شده و نوری که از بلور عبور میکند، تقریبا برابر باشد، بلور نیمه شفاف به نظر میرسد. در صورتی که اگر تمام نور وارده جذب گردد، بلور تیره دیده میشود. هرگاه جذب نور برای طول موجهای مختلف متفاوت باشد، بلور رنگی بنظر میرسد.
بعضی از بلورها دارای رنگهای مشخص هستند، مثلا مالاکیت دارای رنگ سبز و ازوریت دارای رنگ آبی آسمانی میباشد. تعدادی از بلورها در اصل بیرنگ میباشند، ولی در اثر وجود ناخالصی و یا پیگمان به رنگهای مختلفی دیده میشوند. مثلا کوارتز بیرنگ بوده، ولی در اثر ناخالص دارای رنگهای سفید ، بنفش ، دودی ، زرد ، صورتی و سیاه میباشد و یا وجود کروم به صورت پیگمان در کروندوم باعث رنگ قرمز آن میشود.
برخی از کاربردهای بلورها
-
بلورهای و نظایر آنها در ساختن وسایل نوری بکار میروند.
-
بلورهائی با خاصیت پیروالکتریسته مثل در صنعت الکترونیک کاربرد دارند.
-
بلورهای SiC در تهیه ترانزیستور و روبین یا یاقوت در تهیه اشعه لیزر مورد استفاده قرار میگیرند.
بلورها برحسب نوع ذرات تشکیل دهنده و نیروهای نگه دارنده این ذرات به چهار نوع بلورهای یونی ، مولکولی ، کووالانسی (مشبک) ، فلزی گروه بندی میشوند
تقطیر:
اگر هدف از تقطیر ، جداسازی یک مخلوط به اجزای بالا باشد، از تقطیر ساده برای جداسازی اجزاء استفاده میشود. اما اگر همه اجزاء فرار باشند، از تقطیر جزء به جزء برای جداسازی استفاده میشود. اگر یک مخلوط تولید آزئوتروپ کند، ( مثل آب و الکل) نمیتوان از روش تقطیر جزء به جزء ، اجزای آن را جدا کرد. برای جداسازی این مخلوط از روشهای تقطیر با بخار آب ، تقطیر در خلاء و تقطیر ناگهانی استفاده میکنند.
در تقطیر با بخار آب هیچگاه درجه حرارت تقطیر از نقطه جوش آب بیشتر نمیشود. ترکیباتی نظیر تولوئن ، اتیلن ، گلیسیرین و اسیدهایچرب از این طریق جدا میشوند. برای جلوگیری از تجزیه مایعاتی که دارای نقطه جوش بالایی هستند از تقطیر در خلاء استفاده میشود. با کاهش فشار ، نقطه جوش مایع کاهش پیدا میکند.در تهیه آب آشامیدنی از آب دریا و تهیه آب مقطر نیروگاهها از تقطیر ناگهانی استفاده میشود. در این روش مایع بطور مداوم وارد و بخار بطور مداوم خارج میشود. در شکل زیر تصویر
یک دستگاه تقطیر دیده می شود.
تصویری از یک نمومه آزمایشگاهی دستگاه تقطیر: 1: گرمکن 2: بالن تقطیر 3: برج تقطیر 4: دماسنج(برای تعیین دمای جوش) 5: مبرد 6: ورودی آب سرد 7: خروجی آب سرد 8: بالن جمع آوری محصول 9: ورودی گاز یا خلاء 10: جمع آوری کننده بخارات 11: تنظیم کننده حرارت 12: تنظیم کننده سرعت همزن 13: صفحه گرمکن 14: حمام روغن یا شن 15: همزن 16: حمام آب سرد.
رسوب دادن:
نوعی روش جداسازی است که اساس آن اختلاف حلالیت اجسام میباشد. یعنی جزیی که حلالیت کمتری دارد زودتر جدا میشود. با افزایش نیروی جاذبه سرعت تهنشین شدن افزایش پیدا میکند. عمل سانتریفوژ در واقع بر همین اساس است.
سانتریفیوژ (به انگلیسی: Centrifuge) یا دستگاه مرکزگریز دستگاهی است که در آن با استفاده از نیروی گریز از مرکز مواد را از یکدیگر جدا میکنند. در این دستگاه محفظهای که مواد جداشدنی در آن قراردارد معمولاً به کمک یک موتور به سرعت حول یک محور میچرخد.
سانتریفوژ دستگاهی است که از آن برای چرخاندن مواد با سرعت بالا استفاده میشود. دانشمندان معمولاً دستگاه سانتریفوژ را برای جدا کردن ذرات جامد از یک مایع یا تقسیم مخلوط مایعات به اجزای مختلف آن به کار میگیرند. مخلوط را درون لولهای قرار میدهند که طوری قرار داده شدهاست که با چرخش دستگاه، به سمت خارج از مرکز حرکت میکند و به حالت افقی قرار میگیرند. در این حالت، نیروی گریز از مرکز میخواهد که مخلوط را برخلاف مرکز سانتریفوژ براندو از این نقطه دور کند و ذرات یا مایع سنگین تر بیش تر به سمت بیرون (یا ته مخلوط) رانده میشوند. وقتی سانتریفوژ از حرکت باز میایستد، مواد به همین حالت غیر مخلوط میمانند. خون و سایر نمونههای بیولوژیکی را معمولاً به وسیله دستگاه سانتریفوژ جدا میکنند. سریعترین سانتریفوژ با نام «فرامرکز گریز» با سرعت ۲۰۰۰۰۰ دور در دقیقه میچرخد. از دستگاههای گریز از مرکز بزرگ برای انجام آزمایش بر روی خلبانان نظامی و فضانوردان استفاده میشود تا میزان مقاومت آنان در شتابهای بالا معلوم شود.
انواع دستگاه ها
انواع دستگاههای مرکز گریز برای مصارف گوناگون ساخته شدهاست. نمونههای خانگی این دستگاه برای جداکردن آب از سبزیها مثل کاهو و غیره بکار میرود. همچنین در ماشینهای لباسشویی نیز برای خشک کردن لباس استفاده میشود. در نمونههای آزمایشگاهی برای جداکردن گلوبولهایخون از پلاسما استفاده میشود. دستگاههای صنعتی با موتورهای قوی و در ابعاد بزرگ برای جدا کردن مواد بکار میرود. در کار غنیسازی اورانیوم نیز از دستگاههای مرکزگریز گازی استفاده میشود.
اساس کار سانتریفوژها
هر گاه جسمی با سرعت معینی حول یک مرکز با محور دوران کند نیرویی در جسم متحرک و در جهت عمود بر مسیر دوران و به سمت خارج از مرکز ایجاد میگردد. که به نیروی فراگریز یا نیروی گریز از مرکز موسوم است که مقدار آن از رابطه F=MRW2 که در آن R شعاع دوران M جرم جسم و V سرعت خطی و W سرعت زاویهای است بدست میآید. محور دوران ممکن است به سه حال قائم، افقی یا مایل باشد.
استخراج:
اساس این روش ، اختلاف حلالیت یک جزء در دو حلال غیر قابل حل در یکدیگر است. اگر دو حلال غیر قابل استخراج ، مایع باشند، به این روش استخراج مایع ـ مایع گویند و اگر یک جسم جامد به وسیله یک حلال استخراج شود، به آن استخراج جامد ـ مایع گویند (مثل استخراج اسانسها ، عصارهها و روغن از دانههای گیاهی). عموما دو فاز مورد استفاده ، یکی آب است و دیگری یک حلال آلی.مقداری از جسم در فاز آبی و مقداری نیز در فاز آلی میباشد. بازده استخراج با ضریب تقسیم نسبت مستقیم دارد. دوبار استخراج با حجم کمتر از حلال آلی همیشه موثر از یک بار استخراج با حجمی مساوی دو برابر حجم اول است. چون در حالت اول ، مقدار وزن ماده باقیمانده محلول در آب ، کمتر از حالت دوم خواهد بود.
کروماتوگرافی:
اساس کروماتوگرافی ، جذب سطحی مواد و توزیع آنها در دو فاز میباشد. یکی از فازها ثابت و فاز دیگر متحرک است که نمونه مورد نظر در فاز متحرک جدا میشود. فاز ثابت یا جامد است و یا مایع و فاز متحرک یا مایع است و یا گاز . اگر فاز ثابت ، جامد و فاز متحرک ، مایع باشد، به آن کروماتوگرافی مایع ـ جامد LSC ) )گویند. اگر فاز متحرک ، گاز و فاز ثابت ، جامد باشد، به آن کروماتوگرافی گاز - جامد ( GSC ) گویند. اگر فاز متحرک ، مایع و فاز ثابت نیز مایع باشد به آن کروماتوگرافی مایع ـ مایع LLC ) یا( HPLC گویند و در نهایت اگر فاز متحرک ، گاز و فاز ثابت ، مایع باشد، به آن کروماتوگرافی گاز - مایع GLC ) یا (VPC گویند.در LSC ، جدا شدن بر اساس جذب سطحی یا تعریض یونها و یا تشکیل کمپلکس میباشد. در GSC اساس ، جداسازیجذب سطحی است. در LLC و GLC ، مواد بر اساس توزیع بین دو فاز جدا میشوند. پس کروماتوگرافی روشی برای جداسازی مخلوط بدلیل اختلاف تحرک آنها میباشد.کروماتوگرافی LSC در واقع نوعی کروماتوموگرافی جذبی است که مواد بر اساس اختلاف در قابلیت جذب خود روی سطح جامد از یکدیگر جدا میشوند. در GSC نیز اساس جداسازی جذب سطحی فاز گاز روی سطح جامد است. از این روش برای خالص سازی گازها استفاده میشود.
کروماتوگرافی لایه نازک(Thin Layer Chromatography) (TLC)
کروماتوگرافی لایه نازک نوعی کروماتوگرافی جذبی جامد – مایع است و اصول آن مانند کروماتوگرافی ستونی است. ولی در این مورد جسم جاذب جامد را به صورت یک لایه نازک در روی یک قطعه شیشه یا پلاستیک محکم پخش میکنند. یک قطره از محلول نمونه یا مجهول را در نزدیکی لبه صفحه میگذارند و صفحه را همراه مقدار کافی از حلال استخراج کننده در ظرفی قرار میدهند. مقدار حلال باید آنقدر باشد که فقط به سطح زیر لکه برسد (شکل الف). حلال به طرف بالای صفحه میرود و اجزاء مخلوط را با سرعتهای متفاوت با خود میبرد. در نتیجه ممکن است تعدادی لکه روی صفحه ظاهر شود. این لکه ها روی یک خط عمود بر سطح حلال ظرف قرار میگیرند (شکل ب).
این روش کروماتوگرافی بسیار آسان است و به سرعت هم انجام میشود. این روش برای تفکیک اجزاء یک مخلوط بسیار مفید است و همچنین میتوان از آن برای تعیین بهترین حلال استخراج کننده جهت کروماتوگرافی ستونی استفاده کرد.
در TLC میتوان از همان مواد جامد که در کروماتوگرافی ستونی استفاده میشود استفاده کرد و در این میان سیلیکا و آلومینا بیشتر به کار میرود. معمولا جسم جاذب را با مقدار کمی از ماده نگهدارنده مانند گچ شکسته بندی، کلسیم سولفات و یا نشاسته مخلوط میکنند تا جسم جاذب چسبندگی لازم را پیدا کند و به صفحه بچسبد. صفحه ها را میتوان قبل از مصرف تهیه کرد و یا از ورقه های پلاستیکی آماده که در بازار موجود است استفاده نمود.
یکی از مزایای مشخص TLC آن است که احتیاج به مقدار بسیار کمی از نمونه دارد. در بعضی موار میتوان تا مقدار 9-10 گرم را تشخیص داد. اما ممکن است اندازه نمونه تا 500 میکرو گرم برسد. در نمونه های زیاد میتوان از تجربه های تهیه ای استفاده کرد. در این تجربه ها لکه های مختلف را میتراشند و با یک حلال مناسب میشویند (استخراج میکنند). و برای شناسایی (از طریق طیف سنجی) به کار میبرند.
تشخیص لکه های رنگین در روی کروماتوگرام آسان است و برای تعیین محل لکه های اجسام بیرنگ روشهای متعددی وجود دارد. برای مثال میتوان با تابش نور ماوراء بنفش به صفحه محل لکه، ترکیبهایی را که خاصیت فلوئورسانس دارند مشخص کرد. به روش دیگر میتوان جسم جاذب را با ماده فلوئورسانس دار بی اثر دیگری مخلوط کرد. هنگامی که نور ماوراء بنفش به این صفحه بتابد، لکه اجسامی که نور ماورای بنفش را جذب ميکنند ولی خاصیت فلوئورسانس ندارند در زمینه فلورسانس دار صفحه به صورت تیره رنگ ظاهر میشوند. در بسیاری موارد دیگر، از معرفهای آشکارساز دیگری استفاده میکنند. این معرفها را میتوان بر روی کروماتوگرام پاشید و لکه ها را ظاهر کرد. سولفوریک اسید، که بسیاری از ترکیبات آلی را به ذغال تبدیل میکند و محلول پتاسیم پرمنگنات نمونه هایی از معرفهای آشکار ساز هستند که به این روش مصرف میشوند. ید نیز معرف آشکار ساز دیگری است که مصرف میشود. در این مورد صفحه را در ظرفی میگذارند که محیط آن از بخار ید اشباع باشد. بسیاری از ترکیبات آلی ید را جذب میکنند و لکه آنها روی کروماتوگرام رنگین (معمولا قهوه ای) میشود.
در شرایط معین سرعت حرکت ترکیب نسبت به سرعت پیشرفت حلال (Rf) خاصیت مشخصی از ترکیب است. برای تعیین این مقدار مسافتی را که جسم از خط شروع تا وسط لکه را طی کرده است اندازه میگیرند و آنرا به مسافتی که حلال پیموده تقسیم میکنند. این مسافت را با خط شروع یکسانی میسنجند.
بخش عملی
تفکیک مواد رنگی برگ سبز
چند میلی لیتر از مخلوط 2 به یک اتر نفت و اتانول را همراه با چند برگ سبز در هاونی بگذارید و برگها را با دسته هاون له کنید. مایع بدست آمده را به یک قیف جدا کننده منتقل کنید و همان حجم آب مقطر به آن اضافه کنید و تکان دهید. فاز آبی پایینی را دور بریزید. این شستشو را دو بار انجام دهید و هر بار فاز آبی را دور بریزید. و آب تازه اضافه کنید.لایه آلی (بالایی) را به ارلن کوچکی منتقل کنید و به آن 2 گرم سدیم سولفات بدون آب اضافه کنید (برای آب گیری).
یک نوار 10 سانتی از ورقه کروماتوگرام سیلیکاژل تهیه کنید و یک لکه 1 الی 2 میلی متری از محلول ماده رنگی را طوری بر روی صفحه قرار دهید که حدود 1 و نیم سانتی متر از انتهای آن فاصله داشته باشد (برای گذاشتن لکه از لوله مویین تمیز استفاده کنید). صبر کنید تا لکه خشک شود. برای جداسازی، از حلال بنزن – استون با نسبت 7 – 3 (حجمی) مطابق توضیحات بالا استفاده کنید.
ممکن است تا هشت لکه رنگین مشاهده شود. این لکه ها به ترتیب کاهش مقدار Rf عبارتند از کاروتنها (دو لکه نارنجی)، کلروفیل a (آبی – سبز)، کلروفیل b (سبز) و زانتوفیلها (چهار لکه زرد).
یکی از کلیشهایترین و شاید تاریخیترین سوالهای دانشآموزان درخصوص درس ریاضی این است که ریاضی و فرمولهای متعدد آن در زندگی ما چه کاربردی دارد.
برای پاسخگویی به این سوال با همکاری دانش آموزان دبیرستان نمونه دولتی حیدری موسوی شهرستان هشترود، کارگاهی آموزشی درباره عدد 1.618 و کاربردهای آن برگزار کردیم. گذشته از نحوه گروه بندی، اجرا و جزئیات این طرح ـ که برای نخستین بار در آموزش و پرورش کشور انجام شد ـ در این طرح که طرحی نو در آموزش ریاضی است، موضوعات مختلف و کاربردی- ریاضی درسیکه در سطح بین الملل نیز دارای تازگی و پویایی است ـ مورد بررسی قرار گرفت.
نسبت طلایی یا همان عدد 1.618 یکی از زیبایی های دنیای ریاضی است که در گوشه و کنار این دنیای بزرگ از اندام های بدن انسان تا آثار برجسته و مشهور هنری و معماری در سطح دنیا و حتی نحوه رشد دانه های گل آفتابگردان می توان ردپایی از آن پیدا کرد. بسیاری از کارشناسان بر این باورند هر اثر هنری که در آن نسبت طلایی رعایت شده باشد، منحصر به فرد است. جالباین که در کاغذهای استاندارد سری A نیز نسبت طول به عرض با نسبت طلایی برابر است. به همین دلیل، محققان بر این باورند زیباترین سطوح و اشکال آنهایی است که نسبت طلایی در آنها به کار رفته باشد.
عدد 1.618 که به عدد یا نسبت طلایی یا نسبت فیبوناچی نیز شهرت دارد، حاصل تلاش دانشمندانی ازجمله اقلیدس، لوکاپاچیولی و لئوناردو فیبوناچی است. شما می توانید در حوزه های مختلف ردپایی از نسبت طلایی را پیدا کنید. یکی از این حوزه ها هندسه است. اگر در پاره خطی، نسبت قسمت بزرگ تر به کوچک تر برابر با نسبت کل خط به قسمت بزرگ باشد، این نسبت قطعا عدد طلایی است.
یکی دیگر از حوزه هایی که نشانی از نسبت طلایی در آن پیدا می کنید، دنباله فیبوناچی است. در این دنباله که عبارت است از 1، 1، 2، 3، 5، 8، 13، 21 و... اگر اعداد پس از 2 را در نظر بگیریم و هر کدام را به عدد ماقبل خود تقسیم کنیم، شاهد اعدادی بسیار نزدیک به عدد نسبت طلایی یا 1.618 خواهیم بود. هر چه بیشتر این تقسیم را ادامه دهید، عدد حاصل به نسبت طلایی نزدیک تر می شود.
گذشته از این در بسیاری از ساختارهای هستی می توانید نشانی از نسبت طلایی پیدا کنید؛ از مارپیچ های دی ان ای گرفته تا مارپیچ گوش انسان، حلزون، ساختار مارپیچی کهکشان ها و تمام زیبایی های طبیعت ازجمله برگ های درختان، خطوط و نقش و نگار روی پرهای طاووس و مارپیچ های آفتابگردان این نسبت رعایت شده است. این عدد در معماری باستان و معاصر ایران و جهان نیز کاربرد فراوانی داشته است. از آن جمله می توان به هرم جیزا در مصر، برج آزادی تهران، قلعه دالاهو در کرمانشاه، بنای بیستون کرمانشاه و مقبره ابن سینا در همدان اشاره کرد. برای مثال ابعاد بنای بیستون کرمانشاه پنج کیلومتر در سه کیلومتر ذکر شده که اعداد چهارم و پنجم دنباله فیبوناچی اند. با تقسیم این دو عدد به عدد 1.6 می رسیم که بسیار نزدیک به عدد طلایی است.
این عدد در بدن انسان نیز بسیار کاربرد دارد. زیبایی چهره، زیبایی خنده، تناسب اندام و خوش تیپی همه و همه از شاهکارهای الهی در آفرینش انسان است. اگر نگاهی به تاریخچه عدد طلایی بیندازید، می بینید لئوناردو داوینچی اولین نفری است که نسبت دقیق استخوان های انسان را اندازه گیری و ثابت کرد این نسبت ضریبی از عدد طلایی است. در سنجش تناسب اندام خود می توانید فاصله انگشتان پا تا ناف را بر فاصله ناف تا بالای سر تقسیم و حاصل را با عدد 1.618 مقایسه کنید. هر چه این عدد به 1.618 نزدیک تر باشد به این معنی است که شما تناسب اندام خوبی دارید. چنین نشانه هایی که در آنها می توان به نسبت طلایی رسید، در بدن انسان بسیار زیاد است. یکی از دیگر ویژگی های جالب توجه نسبت طلایی این است که اگر فاصله شهر مکه تا قطب شمال را بر فاصله این شهر تا قطب جنوب تقسیم کنیم، عددی بسیار نزدیک به عدد طلایی به دست می آید. بر این اساس می توان گفت شهر مکه در نقطه طلایی زمین قرار دارد. علاوه بر این، بررسی های انجام شده نشان داده است شهر مکه در نقطه طلایی عربستان و بنای کعبه در نقطه طلایی شهر مکه قرار دارد.